Question

如图，在△ABC中，已知4sin²

A-B

2

+4sinAsinB=3，AC=8，点D在BC边上，且BD=2，cos∠ADB=

1

7

．求角C的大小及边AB的长．

Answer 1

考点：解三角形

专题：计算题,解三角形

分析：利用二倍角公式，和角的余弦公式，可求C，利用正弦定理、余弦定理求出边AB的长．

解答： 解：∵4sin²

A-B

2

+4sinAsinB=3，
∴2[1-cos（A-B）+4sinAsinB=3，
∴2-2（cosAcosB+sinAsinB）+4sinAsinB=3，
∴cos（A+B）=-

1

2

，
∴cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

．
∵cos∠ADB=

1

7

，
∴cos∠ADC=-

1

7

，
∴sin∠ADC=

4 3

7

，
在△ADC中，由正弦定理可得AD=

AC

sin∠ADC

•sinC=7
∴AB=

49+4-2×7×2× 1 7

=7．

点评：本题考查二倍角公式，和角的余弦公式，考查正弦定理、余弦定理，属于中档题．