Question

如图，PA，QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O
（Ⅰ）求证：OP⊥平面QBD； 
（Ⅱ）求二面角P-BQ-D平面角的余弦值；
（Ⅲ）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求

PE

ED

的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：对第（1）问，要证OP⊥平面QBD，连结OQ，只需证OP⊥BD，OP⊥OQ，前者可由BD⊥平面PAO得证，后者可由△PAO∽△OCQ得证；
对第（2）问，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBQ与平面BDQ的法向量，通过两法向量的夹角探求二面角的大小；
对第（3）问，设

PE

=λ

ED

，用λ表示向量

CE

的坐标，根据

CE

与平面PBQ的法向量的垂直关系建立方程，即可得λ的值．

解答： （Ⅰ）证明：连接OQ，由题知PA∥QC，∴P、A、Q、C四点共面，易知BD⊥AC，BD⊥PA，又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PACQ，得BD⊥OP．
由题中数据得PA=2，AO=OC=

2

，QC=1，∴

PA

OC

=

AO

QC

，△PAO∽△OCQ，∴∠POA=∠OQC，
又∵∠POA+∠OPA=90°，∴∠POA+∠COQ=90°，∴OP⊥OQ．
（或计算OQ=

3

，OP=

6

，PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，即OP⊥OQ）
∵BD∩OQ=O，∴OP⊥平面QBD．
（Ⅱ）解：如图右图所示，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由题意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），Q（2，2，1），O（1，1，0），
∴

OP

=(-1，-1，2)，

BP

=(-2，0，2)，

BQ

=（0，2，1），设平面PBQ的法向量为

n

=(x，y，z)，
∴

n • BP =0 n • BQ =0

，得

-2x+2z=0 2y+z=0

，不妨取y=-1，得

n

=(2，-1，2)，
由（Ⅰ）知，

OP

是平面BDQ的一个法向量，于是cos＜

OP

，

n

＞=

OP • n

| OP || n |

=

6

6

，由图知，二面角P-BQ-D为锐二面角，
∴二面角P-BQ-D的平面角的余弦值为

6

6

．
（Ⅲ）解：设

PE

=λ

ED

，∴

PD

=

PE

+

ED

=(1+λ)

ED

=（0，2，-2），

ED

=

1

1+λ

(0，2，-2)，
从而

CE

=

CD

+

DE

=(-2，-

2

1+λ

，

2

1+λ

)，
∵CE∥平面PBQ，∴

CE

与平面PBQ的法向量

n

=(2，-1，2)垂直，则

n

•

CE

=-4+

2

1+λ

+

4

1+λ

=0，
得λ=

1

2

，即

PE

ED

=

1

2

．
另解：在平面PAD中，分别过点D、P作直线PA、AD的平行线相交于点M，
连结MC交直线DQ与点N，在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E，如右图所示．
由题可知CN∥PB，NE∥PQ，CN∩NE=N，∴平面CNE∥平面PBQ，∴CE∥平面PBQ．
显然，△QCN∽△DMN，由CQ=1，MD=PA=2，∴

PE

ED

=

QN

ND

=

QC

MD

=

1

2

，即

PE

ED

=

1

2

．

点评：本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行的判断及二面角大小的计算、空间向量应用的基本方法，考查空间想象、计算、推理论证等能力，第（3）问的难度较大．