Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，AC=CC₁=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求异面直线AC₁与CB₁所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接BC₁，交CB₁于E，连接DE，运用中位线定理，以及线面平行的判定定理，即可得证；
（2）由（1）可得DE∥AC₁，DE=

1

2

AC₁，则DE和直线CB₁所成的角或补角即为异面直线AC₁与CB₁所成的角．
运用平面几何的知识，求出CD，CE，DE的长，再由余弦定理，即可得到．

解答： （1）证明：连接BC₁，交CB₁于E，连接DE，
由于D为中点，E为中点，
则DE∥AC₁，DE?平面CDB₁，AC1?平面CDB₁，
则有AC₁∥平面CDB₁；
（2）解：由（1）可得DE∥AC₁，DE=

1

2

AC₁，
则DE和CB₁所成的角或补角即为异面直线AC₁与CB₁所成的角．
在三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则△ABC为直角三角形，AB为斜边，
即有CD=

5

2

，AC₁=

AC2+CC12

=3

2

，DE=

3 2

2

，CE=

1

2

CB1=

5

2

，
在三角形CDE中，cos∠CED=

25 4 + 18 4 - 25 4

2× 5 2 × 3 2 2

=

3 2

10

．
故异面直线AC₁与CB₁所成的角的余弦值为

3 2

10

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，考查空间异面直线所成的角，考查运算能力和推理能力，属于基础题．