Question

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），设y₃=18，y₆=12．若数列{y_n}的前n项和S_n有最大值，则这个最大值是

 

，此时n=

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用对数的运算法则和等比数列的通项公式可得x_n公比、通项公式，进而得出y_n．再利用等差数列的前n项和公式和二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵y₃=18，y₆=12．
∴2log_ax₃=18，2log_ax₆=12，
∴x3=a9，x6=a6．
设等比数列{x_n}的公比为q，
则q3=

x6

x3

=

a6

a9

=

1

a3

．
∴q=

1

a

．
x1=

x3

q2

=a¹¹．
∴xn=a11•(

1

a

)n-1=a12-n．
∴y_n=2log_ax_n=2（12-n）=-2n+24．
∴S_n=

n(22+24-2n)

2

=-n²+23n=-(n-

23

2

)2+

529

4

．
∴当n=11或12时，S_n取得最大值132．
故答案分别为：132，11或12．

点评：本题考查了对数的运算法则和等比数列的通项公式、等差数列的通项公式与前n项和公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．