Question

【题目】已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于A，B两点，E的准线与x轴交于点C，△CAB的面积为4，以点D（3，0）为圆心的圆D过点A，B． （Ⅰ）求抛物线E和圆D的方程；
（Ⅱ）若斜率为k（|k|≥1）的直线m与圆D相切，且与抛物线E交于M，N两点，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意， ， 由p2=4得p=2，圆D半径R=2 ，
所以抛物线E：y2=4x，圆（x﹣3）2+y2=8．
（Ⅱ）设直线m：y=kx+b（|k|≥1），
则 =2 ，即k2+6kb+b2=8，①
联立y=kx+b与抛物线得ky2﹣4y+4b=0，△=16﹣16kb，
由①知kb≤1，即△≥0
所以方程ky2﹣4y+4b=0有两个实数根y1 ， y2 ， 且y1+y2= ，y1y2=
= [（y1y2）2﹣4（y1+y2）2+24y1y2+16]= =
因为|k|≥1，所以 的取值范围是（0，4]．
【解析】（Ⅰ）利用，△CAB的面积为4，以点D（3，0）为圆心的圆D过点A，B，即可求抛物线E和圆D的方程；（Ⅱ）设直线m：y=kx+b（|k|≥1），则 =2 ，即k2+6kb+b2=8，联立y=kx+b与抛物线，利用韦达定理及向量数量积公式，即可得出结论．