Question

13．（1）计算：sin6°sin42°sin66°sin78°
（2）已知α为第二象限角，且sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，求$\frac{sin（α+\frac{π}{4}）}{sin2α+cos2α+1}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可化简求值．
（2）利用已知可求cosα的值，利用特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，二倍角公式化简即可计算求值．

解答 解：（1）sin6°sin42°sin66°sin78°
=$\frac{sin6°cos6°sin42°sin66°sin78°}{cos6°}$
=$\frac{\frac{1}{2}sin12°cos12°sin42°sin66°}{cos6°}$
=$\frac{\frac{1}{4}sin24°cos24°sin42°}{cos6°}$
=$\frac{\frac{1}{8}sin48°cos48°}{cos6°}$
=$\frac{\frac{1}{16}sin96°}{cos6°}$
=$\frac{1}{16}$．
（2）∵α为第二象限角，且sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴cosα=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{sin（α+\frac{π}{4}）}{sin2α+cos2α+1}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα+cosα）}{2sinαcosα+2co{s}^{2}α}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα+cosα）}{2cosα（sinα+cosα）}$=$\frac{\sqrt{2}}{4cosα}$=$\frac{\sqrt{2}}{4×（-\frac{1}{4}）}$=-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．