Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）设a=

1

2

，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数有意义可知真数要大于0，建立关系式，解之即可求出函数的定义域；
（2）根据函数的奇偶性的定义进行判定，计算f（-x）与f（x）的关系，从而确定函数的奇偶性；
（3）将a=

1

2

代入，根据函数的定义域和函数的单调性建立关系式，解之即可求出x的范围．

解答：解：（1）由题知：

x+1＞0 1-x＜0

，解得：-1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（2）奇函数．
证明：因为函数f（x）的定义域为（-1，1），所以对任意x∈（-1，1），
f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1-（-x））=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x）
所以函数f（x）是奇函数．
（3）由题知：log 

1

2

（x+1）＞log 

1

2

（1-x），即有

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

，
解得：-1＜x＜0，
所以不等式f（x）＞0的解集为{x|-1＜x＜0}

点评：本题主要考查了函数的奇偶性、以及利用单调性解不等式和对数函数的定义域，同时考查了对数运算，属于中档题．