Question

【题目】如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分.那么

（1）在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？

（2）猜想：圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成多少条线段？

（3）猜想：在圆内画n条线段，两两相交，将圆最多分割成多少部分？

并用数学归纳法证明你所得到的猜想.

Answer 1

【答案】 (1)25,16(2) n2(3)见解析

【解析】

根据1条、2条、3条、4条的特殊情况，发现规律，即可得到结论，然后用数学归纳法证明即可.

(1) 画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分,所以画5条线段，彼此最多分割成25条线段，将圆最多分割成16部分.

(2) 圆内两两相交的n条线段,彼此最多分割成n2条线段；

(3) 1条线段把圆分成f(1)=2部分，2条线段把圆分成f(2)=2+2部分，3条线段把圆分成f(3)=2+2+3部分，4条线段把圆分成f(4)=2+2+3+4部分，可猜想n条线段把圆分成f(n)=2+（2+3+4+5+6+7+8+…n）＝1+（1+2+3+4+5+6+7+8+…n）＝部分，证明如下，

证明：①当n＝1时 上式显然成立

②假设当n＝k（k≥2）时成立，即f(k)=成立

则当n＝k+1时，第k+1条直线与前k条直线相交有k个交点，

所以k个交点将第k+1条线段分成k+1份，每一份将原来的部分又分成2份，

所以在原来的基础上增加了k+1部分，

所以f（k+1）＝f（k）+k+1＝+k+1＝

所以当n＝k+1时成立,综合①②，所以猜想成立.