Question

数列{a_n}(n∈N*)中，a₁=a，a_n+1是函数的极小值点，
(Ⅰ)当a=0时，求通项a_n；
(Ⅱ)是否存在a，使数列{a_n}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：易知f′_n(x)=x²-(3a_n+n²)x+3n²a_n=(x-3a_n)(x-n²)，
令f′_n(x)=0，得x₁=3a_n，x₂=n²，
①若3a_n＜n²，则当x＜3a_n时，f′_n(x)＞0，f_n(x)单调递增；
当3a_n＜x＜n²时， f′_n(x)＜0，f_n(x)单调递减；
当x＞n²时，f′_n(x)＞0，f_n(x)单调递增；
故f_n(x)在x=n²取得极小值．
②若3a_n＞n²，仿①可得，f_n(x)在x=3a_n取得极小值；
③若3a_n=n²，则f′_n(x)≥0，f_n(x)无极值。
(Ⅰ)当a=0时，a₁=0，则3a₁＜1²，由(1)知，a₂=1²=1，
因3a₂=3＜2²，则由(1)知，a₃=2²=4，
因为3a₃=12＞3²，则由(2)知，a₄=3a₃=3×4．
又因为3a₄=36＞4²，则由(2)知，a₅=3a₄=3²×4．
由此猜测：当n≥3时，a_n=4×3^n-3，
下面先用数学归纳法证明，当n≥3时，3a_n＞n²．
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n=k(k≥3)时，3a_k＞k²成立，
则由(2)知，a_k+1=3a_k＞k²，
从而3a_k+1-(k+1)²＞3k²-(k+1)²=2k(k-2)+2k-1＞0，
所以3a_k+1＞(k+1)²，
故当n≥3时，3a_n＞n²成立；
于是由(2)知，当n≥3时，a_n+1=3a_n，而a₃=4，因此a_n=4×3^n-3；
综上所述，当a=0时，a₁=0，a₂=1，a_n=4×3^n-3(n≥3)。
(Ⅱ)存在a，使数列{a_n}是等比数列．
事实上，由(2)知，若对任意的n，都有3a_n＞n²，则a_n+1=3a_n，
即数列{a_n}是首项为a，公比为3的等比数列，且a_n=a·3^n-1，
而要使3a_n≥n²，即a·3ⁿ＞n²对一切n∈N*都成立，只需a＞对一切n∈N*都成立，
记，则，
令，则，
因此，当x≥2时，y′＜0，从而函数在[2，+∞)上单调递减；
故当n≥2时，数列{b_n}单调递减，即数列{b_n}中最大项为b₂=，
于是当a＞时，必有，这说明，当a∈时，数列{a_n}是等比数列；
当时，可得，
而3a₂=4=2²，由(3)知，f₂(x)无极值，不合题意；
当时，可得a₁=a，a₂=3a，a₃=4，a₄=12，…，数列{a_n}不是等比数列；
当时，3a=1=1²，由(3)知，f₁(x)无极值，不合题意；
当时，可得a₁=a，a₂=1，a₃=4，a₄=12，…，数列{a_n}不是等比数列；
综上所述，存在a，使数列{a_n}是等比数列，且a的取值范围为。