Question

13．已知t为实数，函数f（x）=2log_a（2x+t-2），g（x）=log_ax，其中0＜a＜1．
（1）若函数y=g（a^x+1）-kx是偶函数，求实数k的值；
（2）当x∈[1，4]时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方，求t的取值范围；
（3）设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，若n-m的最小值为$\frac{1}{6}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的定义可得k的值；
（2）构造函数h（x）=f（x）-g（x），根据对数函数的图象和性质可得，只需要t＞-2x+$\sqrt{x}$+2恒成立，根据二次函数的性质求出t的取值范围即可；
（3）先判断函数y=|f（x）|的单调性，令|2log_a（2x+2）|=2，得到x=$\frac{a-2}{2}$或$\frac{1-2a}{2a}$，即可得到n-m的最小值为（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{a-2}{2}$=$\frac{1}{6}$，求出a即可．

解答 解：（1）∵函数y=g（a^x+1）-kx是偶函数，
∴log_a（a^-x+1）+kx=log_a（a^x+1）-kx，对任意x∈R恒成立，
∴2kx=log_a（a^x+1）-log_a（a^-x+1）=log_a（$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{-x}+1}$）=x
∴k=$\frac{1}{2}$，
（2）由题意设h（x）=f（x）-g（x）=2log_a（2x+t-2）-log_ax＜0在x∈[1，4]恒成立，
∴2log_a（2x+t-2）＜log_ax，
∵0＜a＜1，x∈[1，4]，
∴只需要2x+t-2＞$\sqrt{x}$恒成立，
即t＞-2x+$\sqrt{x}$+2恒成立，
∴t＞（-2x+$\sqrt{x}$+2）_max，
令y=-2x+$\sqrt{x}$+2=-2（$\sqrt{x}$）²+$\sqrt{x}$+2=-2（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，x∈[1，4]，
∴（-2x+$\sqrt{x}$+2）_max=1，
∴t的取值范围是t＞1，
（3）∵t=4，0＜a＜1，
∴函数y=|f（x）|=|2log_a（2x+2）|在（-1，-$\frac{1}{2}$）上单调递减，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
∵当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴-1＜m≤$-\frac{1}{2}$≤n（等号不同时取到），
令|2log_a（2x+2）|=2，得x=$\frac{a-2}{2}$或$\frac{1-2a}{2a}$，
又[$\frac{1-2a}{2a}$-（-$\frac{1}{2}$）]-[（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{a-2}{2}$]=$\frac{（a-1）^{2}}{2a}$＞0，
∴$\frac{1-2a}{2a}$-（-$\frac{1}{2}$）＞（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{a-2}{2}$，
∴n-m的最小值为（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{a-2}{2}$=$\frac{1}{6}$，
∴a=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了对数函数的性质以及偶函数的性质和函数恒成立问题，以及函数的最值问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．