Question

4．已知数列{a_n}的通项公式为${a_n}=6n+5（n∈{N^*}）$，数列{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的前n项和公式计算即可，
（Ⅱ）根据递推公式即可求出通项公式

解答 解：（Ⅰ）∵${a_n}=6n+5（n∈{N^*}）$
∴${a_{n+1}}-{a_n}=[6（n+1）+5]-（6n+5）=6，\;（n∈{N^*}）$
∴数列{a_n}是等公差为6的等差数列．
又∵a₁=11
∴数列{a_n}的前n项和：${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=\frac{n[11+（6n+5）]}{2}=3{n^2}+8n$；
（Ⅱ）∵a_n=b_n+b_n+1
∴a₁=b₁+b₂，a₂=b₂+b₃
∴$\left\{\begin{array}{l}{b_1}+{b_2}=11\\{b_2}+{b_3}=17\end{array}\right.$
设数列{b_n}的公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}2{b_1}+d=11\\ 2{b_1}+3d=17\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{b_1}=4\\ d=3\end{array}\right.$．
∴数列{b_n}的通项公式：b_n=3n+1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．