Question

14．已知数列{a_n}是等差数列，前n项和为S_n，且a₂=2，S₅=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{2{S}_{n+1}}$，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列的通项公式与求和公式，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{{S}_{5}={5a}_{3}=15}\end{array}\right.$，即可求得数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）依题意，利用裂项法可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{2{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$），逐项累加，即可求得T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{{S}_{5}={5a}_{3}=15}\end{array}\right.$，
解得d=a₃-a₂=3-2=1，∴a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）=n；
S_n=$\frac{（1+n）n}{2}$；
（Ⅱ）∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{2{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$）+（$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$）+…+（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$）]
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2（n+2）（n+1）}$．

点评 本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．