Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-alnx(a∈R)．
（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求证：当x＞1时，

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3．

Answer 1

分析：（1）若（x）在x=2时取得极值，则f′（2）=0，根据已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，代入即可构造关于a的方程，解方程即可得到答案．
（2）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，然后分类讨论a在不同取值时，导函数在不同区间上的符号，即可确定f（x）的单调区间；
（3）构造函数g（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx，利用导数法判断其在定义上的单调性后，易得g（x）＞0恒成立，进而得到结论．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

2

x2-alnx(a∈R)．
∴f′(x)=x -

a

x

又∵f（x）在x=2时取得极值，
∴f′(2)=2 -

a

2

=0，解得a=4
（2）∵f′(x)=x -

a

x

，（x＞0）
当a＜0时，又由x＞0，易得f′（x）＞0，f（x）为增函数，
故当a＜0时，（0，+∞）为函数的单调递增区间；
当a=0，f（x）=

1

2

x²，当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0，f（x）为增函数，
故当a=0时，[0，+∞）为函数的单调递增区间；
当a＞0时，当x∈（0，

a

）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（

a

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
故当a＜0时，（0，

a

）为函数的单调递减区间，（

a

，+∞）为函数的单调递增区间；
（3）令g（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx，
则g′（x）=2x2-x-

1

x

=

2x3-x2-1

x

=

(x-1)(2x2+x+1)

x

∵当x＞1时，g′（x）＞0
故在（1，+∞）上，g（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx为增函数
即当x＞1时，g（x）＞g（1）=

1

6

＞0
故当x＞1时，

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3．

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，进而确定导函数的符号是解答此类问题的关键．