Question

下列函数中，既是R上的奇函数，又在R上单调递增的是（　　）

A．y=x²

B．y=2^x

C．y=x|x|

D．y=sinx

Answer 1

分析：根据基本初等函数的单调性判定和奇偶性的定义，对A、B、C、D各项分别加以验证，不难得到正确答案．

解答：解：对于A，由于函数y=x²是偶函数，故A不正确；
对于B，若f（x）=2^x，则f（-x）=2^-x=(

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)x≠-2^x，∴y=^x不是奇函数，故B不正确；
对于C，若f（x）=x|x|，则f（-x）=-x|x|=-f（x），说明函数是奇函数，
而当x∈（0，+∞）时，f（x）=x²，显然是（0，+∞）上的增函数，
当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x²，显然是[0，+∞）上的增函数，
∴f（x）=x|x|在R上单调递增，故C正确；
对于D，y=sinx在（0，+∞）上显然不是增函数，故D不正确．
故选C．

点评：本题主要考查函数的奇偶性与单调性，解决此类问题的关键是熟练掌握函数奇偶性的定义的判定方法，以及掌握利用定义、图象以及导数判定函数的单调性，属于基础题．