【题目】设椭圆的离心率
,左顶点
到直线
的距离
,
为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
相交于
两点,若以
为直径的圆经过坐标原点,证明:点
到直线
的距离为定值;
(III)在(Ⅱ)的条件下,试求的面积
的最小值.
【答案】(1);(2)定值为
;(3)
【解析】
试题(1)根据题目条件建立a,b,c的两个方程,可求得椭圆的标准方程;(2)以AB为直径的圆经过坐标原点,等价于OA⊥OB,再转换为x1x2+y1y2=0,结合A、B是直线与椭圆的公共点,可得原点到直线的距离为定值;(3)结合(2),将三角形的面积表示为直线斜率的函数关系式,利用二次函数的性质可求的面积的最小值.
试题解析:(1)由e=,得c=
a,又b2=a2-c2,所以b=
a,即a=2b.
由左顶点M(-a,0)到直线,即bx+ay-ab=0的距离d=
,
得,即
,
把a=2b代入上式,得,解得b=1.所以a=2b=2,c=
.
所以椭圆C的方程为. 3分
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
①当直线AB的斜率不存在时,则由椭圆的对称性,可知x1=x2,y1=-y2.
因为以AB为直径的圆经过坐标原点,故=0,
即x1x2+y1y2=0,也就是,
又点A在椭圆C上,所以,
解得|x1|=|y1|=.
此时点O到直线AB的距离d1=|x1|=.
②当直线AB的斜率存在时,
设直线AB的方程为y=kx+m,
与椭圆方程联立有
消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0
所以
因为以AB为直径的圆经过坐标原点O,所以OA⊥OB
于是=x1x2+y1y2=0,
所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0
所以
整理得:5m2=4(k2+1)
所以点O到直线AB的距离d1=.
综上所述,点O到直线AB的距离为定值. 8分
(3)设直线OA的斜率为k0.
当k0≠0时,
则OA的方程为y=k0x,OB的方程为,
联立得
同理可求得
故△AOB的面积为S==2
.
令1+=t(t>1),
则S=2=2
,
令g(t)=(t>1),所以4<g(t)≤
.所以
≤S<1.
当k0=0时,可求得S=1,
故≤S≤1,故S的最小值为
. 13分
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【题目】“微信运动”是一个类似计步数据库的公众帐号,用户只需以运动手环或手机协处理器的运动教据为介,然后关注该公众号,就能看见自己与好友每日行走的步数,并在同一排行榜上得以体现,现随机选取朋友圈中的50人记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
规定:人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”,否则为“懈怠性”.
(1)填写下面列联表(单位:人),并根据列联表判断是否有的把握认为“评定类型与性别有关”;
附:
(2)为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯,从步行在的人群中再随机抽取3人,求选中的人中男性人数超过女性人数的概率.
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【题目】已知点A、B、C、D的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),,α∈(
,
).
(1)若,求角α的值;
(2)若,求
的值.
(3)若在定义域α∈(
,
)有最小值
,求
的值.
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【题目】某高科技企业生产产品和产品
需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品
需要甲材料
,乙材料
,并且需要花费1天时间;生产一件产品
需要甲材料
,乙材料
,也需要1天时间,生产一件产品
的利润为1000元,生产一件产品
的利润为2000元.该企业现有甲、乙材料各
,则在不超过120天的条件下,求生产产品
、产品
的利润之和的最大值.
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【题目】已知圆O:,直线l:
.
若直线l与圆O交于不同的两点A,B,当
时,求实数k的值;
若
,P是直线上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点分别为C、D,试探究:直线CD是否过定点
若存在,请求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树,记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离,现可测得A,B两点间的距离为100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如图所示.则P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离各为多少?
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【题目】选修4—4:极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中,将曲线
(
为参数) 上任意一点
经过伸缩变换
后得到曲线
的图形.以坐标原点
为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
.
(Ⅰ)求曲线和直线
的普通方程;
(Ⅱ)点P为曲线上的任意一点,求点P到直线
的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标.
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【题目】“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过:“数学家的造型,同画家和诗人一样,也应当是美丽的”;古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美;我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”.“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,则
等于( )
A.B.
C.
D.
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