Question

【题目】已知函数f（x）= ，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ）
A.
B.an=n﹣1
C.an=n（n﹣1）
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：当x∈（﹣∞，0]时，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x=x+1．令y=2x ， y=x+1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（﹣∞，0]上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x=0．
当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣1 ， 由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x﹣1=x．令y=2x﹣1 ， y=x．在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1]上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点为x=1．
当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣2+1，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣2+1﹣x=0，得2x﹣2=x﹣1．令y=2x﹣2 ， y=x﹣1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2．
依此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为an=n﹣1．
故选B．

【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）的相关知识点，需要掌握通项公式：或才能正确解答此题．