Question

10．已知函数f（x）=asinx+cosx的图象经过点$（\frac{π}{2}，-1）$．
（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递增区间．
（2）若$θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且f（θ）=$\frac{1}{2}$，求sin2θ的值．

Answer 1

分析 （1）由题意f（$\frac{π}{2}$）=-1，解得a的值，由三角函数恒等变换化简可得解析式f（x）=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），利用周期公式可求最小正周期，由2kπ-π≤x$+\frac{π}{4}$≤2kπ解得单调递增区间．
（2）解法1：由f（θ）=$\frac{1}{2}$，可得cos（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．利用sin2θ=-cos（$\frac{π}{2}+2θ$）=1-2cos²（$θ+\frac{π}{4}$）即可得解．
解法2：由f（θ）=$\frac{1}{2}$，可得$\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$．由两角和的余弦函数公式可求cos$θ-sinθ=\frac{1}{2}$，两边平方由二倍角公式即可得解．

解答 解：（1）因为函数f（x）=asinx+cosx的图象经过点$（\frac{π}{2}，-1）$，
所以f（$\frac{π}{2}$）=-1，…（1分）
即asin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$=-1，解得：a=-1，…（2分）
f（x）=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），…（4分）
T=$\frac{2π}{1}=2π$，所以函数f（x）的最小正周期为2π． …（5分）
因为函数y=cosx的单调递增区间为[2kπ-π，2kπ]，k∈Z，
所以2kπ-π≤x$+\frac{π}{4}$≤2kπ  解得：-$\frac{5π}{4}+2kπ$≤x≤2k$π-\frac{π}{4}$…（6分）
所以函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{5π}{4}+2kπ$，2k$π-\frac{π}{4}$]，k∈Z    …（7分）
（2）解法1：∵f（θ）=$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$．
∴cos（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．…（9分）
∴sin2θ=-cos（$\frac{π}{2}+2θ$）=1-2cos²（$θ+\frac{π}{4}$）=1-2×（$\frac{\sqrt{2}}{4}$）²=$\frac{3}{4}$．…（12分）
解法2：∵f（θ）=$\frac{1}{2}$，∴$\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$．
∴$\sqrt{2}（cosθcos\frac{π}{4}-sinθsin\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$．
∴cos$θ-sinθ=\frac{1}{2}$．…（9分）
两边平方得cos²θ-2cosθsinθ+sin²θ=$\frac{1}{4}$．…（11分）
∴sin2θ=$\frac{3}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，二倍角公式的应用，正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．