Question

已知圆心为C的圆经过点A（1，4），B（3，6），且圆心C在直线4x-3y=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l：y=x+m（m为正实数），若直线l截圆C所得的弦长为

14

，求实数m的值．
（3）已知点M（-4，0），N（4，0），且P为圆C上一动点，求|PM|²+|PN|²的最小值．

Answer 1

分析：（1）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由条件可得

(1-a)2+(4-b)2=r2 (3-a)2+(6-b)2=r2 4a-3b=0

，解得a、b、c的值，可得圆C的方程．
（2）根据圆心C到直线l的距离d=

|-1+m|

2

=

4-( 14 2 )2

，求得m的值．
（3）不妨设P（x，y），则|PM|²+|PN|²=2（x²+y²）+32．再根据x²+y²表示的意义以及|OP|_min=3，求得|PM|²+|PN|²的最小值．

解答：解：（1）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由条件可知：

(1-a)2+(4-b)2=r2 (3-a)2+(6-b)2=r2 4a-3b=0

．
解得：

a=3 b=4 r=2

，故圆C的方程为：（x-3）²+（y-4）²=4．
（2）圆心C到直线l：y=x+m的距离为d=

|-1+m|

2

=

4-( 14 2 )2

，
即：|m-1|=1，解得m=2或0．
∵m是正实数，∴m=2．
（3）不妨设P（x，y），则|PM|²+|PN|²=2（x²+y²）+32．
∵x²+y²表示圆上动点P（x，y）与原点O的距离的平方，且|OP|_min=3，
∴|PM|²+|PN|²的最小值为2×3²+32=50．

点评：本题主要考查用待定系数法求圆的方程，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．