Question

已知f（x）=e^x-kx
①若k=e³求 f（x）的单调区间．
②若对任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，求k的取值范围？
③若f（x）=0有两相异实根，求k的取值范围？

Answer 1

解：①∵f（x）=e^x-e³x，
∴f'（x）=e^x-e³
令f'（x）＞0则e^x-e³＞0，
得x＞3，
∴f（x）的单调増区间为[3，+∞），f（x）的单调减区间为（-∞，3]．
②对任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，
即对任意的x≥0有f（x）＞0恒成立，
即x≥0时，f（x）_min＞0，又f′（x）=e^x-k．
当k≤1时，x≥0有f'（x）≥0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
则f_min（x）=f（0）=1＞0满足题意．
当k＞1时，令f′（x）=e^x-k=0，即e^x=k，
∴．∴
∴k-lnk＞0，即k＜e．
③若f（x）=0有两相异实根，又f′（x）=0至多只有一解，
∴有y=f（x）的极小值存在且小于0，
即k＞0，且f（x）_min=f（lnk）=k-klnk=k（1-lnk）＜0，
∵k＞0，
∴1-lnk＜0，即lnk＞1，
∴．
分析：①由f（x）=e^x-e³x，知f'（x）=e^x-e³，令f'（x）＞0，得x＞3．由此能求出f（x）的单调区间．
②对任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，即对任意的x≥0有f（x）＞0恒成立，即x≥0时，f（x）_min＞0，又f′（x）=e^x-k．当k≤1时，x≥0有f'（x）≥0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，则f_min（x）=f（0）=1＞0满足题意．由此能够求出k的取值范围．
③若f（x）=0有两相异实根，又f′（x）=0至多只有一解，所以有y=f（x）的极小值存在且小于0，即k＞0，且f（x）_min=f（lnk）=k-klnk=k（1-lnk）＜0，由此能求出k的取值范围．
点评：本题考查f（x）的单调区间的求法和求实数k的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数在闭区间上求函数最值的应用，是历年高考的重点题型．