Question

2．（1）求过椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1内一点P（1，1）且被该点平分的弦所在的直线方程；
（2）求椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1上的点到直线1：3x-2y-16=0的最短距离，并求取得最短距离时椭圆上的点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设弦的两端点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），运用中点坐标公式和点满足椭圆方程，两式相减，求得直线的斜率，由点斜式方程可得所求直线的方程；
（2）可设与直线1：3x-2y-16=0平行且与椭圆相切的直线方程为3x-2y+t=0，联立椭圆方程，消去y，由判别式为0，可得t的值，再由平行直线的距离，可得最短距离，解方程可得取得最短距离时椭圆上的点的坐标．

解答 解：（1）设弦的两端点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由题意可得x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，①
且$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$=1，
两式相减可得，$\frac{{（x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$=0，
代入①，可得所求直线的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
可得直线的方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即为x+2y-3=0；
（2）可设与直线1：3x-2y-16=0平行且与椭圆相切的直线方程为3x-2y+t=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y+t=0}\\{7{x}^{2}+4{y}^{2}=28}\end{array}\right.$，消去y可得16x²+6tx+t²-28=0，
由△=36t²-64（t²-28）=0，解得t=±8．
由题意可得t=-8时，两直线的距离取得最小．
且为d=$\frac{|-16+8|}{\sqrt{9+4}}$=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
由16x²-48x+36=0，解得x=$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{7}{4}$．
可得最短距离时椭圆上的点的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{4}$）．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，注意运用点差法和点满足椭圆方程，联立直线方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，考查两平行直线的距离公式，以及化简整理的运算能力，属于中档题．