Question

设数列{

1

an

}是等差数列，且a₂a₄+a₄a₆+a₆a₂=1，a₂a₄a₆=

1

6

，则a₁₀=（　　）

• A．1
• B．-1
• C．

  1

  5

• D．-1或

  1

  5

Answer 1

分析：设等差数列{

1

an

}的公差为d，

1

a2

=

1

a4

-2d，

1

a6

=

1

a4

+2d，由a₂a₄+a₄a₆+a₆a₂=1，a₂a₄a₆=

1

6

，可求得

1

a4

=

1

2

，d=

1

2

，从而可求得a₁₀．

解答：解：设等差数列{

1

an

}的公差为d，
∵a₂a₄+a₄a₆+a₆a₂=1，a₂a₄a₆=

1

6

，
∴等式两端同除以a₂a₄a₆得：

1

a6

+

1

a2

+

1

a4

=

1

a2a4a6

=6，
∴

3

a4

=6，
∴

1

a4

=2；
∴

1

a2

•

1

a6

=

1

3

，即（

1

a4

-2d）（

1

a4

+2d）=

1

3

，
∴d=

1

2

或d=-

1

2

（舍）．
∴

1

a10

=

1

a4

+6d=2+6×

1

2

=5，
∴a₁₀=

1

5

．
故选C．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，求得

1

a4

=

1

2

，d=

1

2

是关键，考查推理与分析及运算能力，属于中档题．