Question

1．定义在[-2016，2016]上的函数f（x）满足：对于任意的a，b∈[-2016，2016]，有f（a+b）=f（a）+f（b）-2012，且x＞0时，有f（x）＞2012，设f（x）的最大值和最小值分别为M，N，则M+N的值为（　　）

• A． -2012
• B． 2012
• C． 4024
• D． 4022

Answer 1

分析 计算f（0）=2012，得出f（a）+f（-a）=4024，令g（x）=f（x）-2012，则g（x）为奇函数，根据奇函数的性质得出M+N的值．

解答 解：令a=b=0得f（0）=2f（0）-2012，
∴f（0）=2012．
再令b=-a得f（0）=f（a）+f（-a）-2012=2012，
∴f（a）+f（-a）=4024，
令g（x）=f（x）-2012，则g（x）+g（-x）=f（x）+f（-x）-4024=0，
∴g（x）是奇函数，
∵f（x）的最大值和最小值分别为M，N，
∴g（x）的最大值和最小值分别为M-2012，N-2012，
∴M+N-4024=0，
∴M+N=4024．
故选C．

点评 本题考查了奇函数的性质，属于中档题．