Question

11．证明下列命题：
（1）若实数a≥2，则$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}＜\sqrt{a-1}-\sqrt{a-2}$；
（2）若a，b为两个不相等的正数，且a+b=1，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}＞4$．

Answer 1

分析 （1）由a≥2，分子有理化求得$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$，$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-2}$=$\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a-2}}$，利用不等式的性质，即可得证；
（2）利用“1”代换，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+b）×（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$），展开利用基本不等式的性质可知求得则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}＞4$．

解答 证明：（1）由a≥2，$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$，
$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-2}$=$\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a-2}}$，
$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a-2}$≥0，$\sqrt{a+1}$＞$\sqrt{a-1}$＞0，
两式相加可得：$\sqrt{a}$+$\sqrt{a+1}$＞$\sqrt{a-1}$+$\sqrt{a-2}$＞0，
∴$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$＜$\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a-2}}$，
∴$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}＜\sqrt{a-1}-\sqrt{a-2}$；
（2）$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+b）×（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$＞2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}＞4$．

点评 本题考查不等式的证明，考查不等式的性质及基本不等式的应用，考查推理能力，属于中档题．