Question

19．直线x=1，y=x，将圆x²+y²=4分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？

Answer 1

分析 由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用4种颜色涂色，第二类，用3种颜色涂色，第三类，用两种颜色涂色．分别写出三种不同情况下的结果，相加得到结果．

解答 解：由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有A₅⁴种方法；
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C₅³种；
在涂的过程中，选对顶的两部分涂同色，
另两部分涂异色有C₂¹种选法；3种颜色涂上去有A₃³种涂法．
共C₅³•C₂¹•A₃³种涂法；
第三类，用两种颜色涂色．选颜色有C₅²种选法；
对顶的两部分各涂一色有A₂²种涂法．共C₅²•A₂²种涂法．
∴共有涂色方法A₅⁴+C₅³•C₂¹•A₃³+C₅²•A₂²=260种．

点评 本题以实际问题为载体，考查计数原理的运用，关键搞清是分类，还是分步．