Question

3．已知曲线${C_n}：y=n{x^2}$，点P_n（x_n，y_n）（x_n＞0，y_n＞0）是曲线C_n上的点（n=1，2，…），曲线C_n在点P_n处的切线是l_n，l_n与y轴相交于点Q_n．若原点O（0，0）到切线l_n的距离与线段P_nQ_n的长度之比取得最大值，则点P_n的坐标为$（\frac{1}{2n}，\frac{1}{4n}）$．

Answer 1

分析 求导，令x=x_n，求得点P的切线方程2nx_n•x-n•${x}_{n}^{2}$=0，利用点到直线的距离公式求得原点O（0，0）到切线l_n的距离d=$\frac{丨-n{x}_{n}^{2}丨}{\sqrt{（2n{x}_{n}）^{2}+1}}$=$\frac{n{x}_{n}^{2}}{\sqrt{4{n}^{2}{x}_{n}^{2}+1}}$，丨P_nQ_n丨=$\sqrt{{x}_{n}^{2}+（2n{x}_{n}^{2}）^{2}}$，$\frac{d}{丨{P}_{n}{Q}_{n}丨}$=$\frac{n丨{x}_{n}丨}{1+4{n}^{2}{x}_{n}^{2}}$≤$\frac{n丨{x}_{n}丨}{2•1•丨2n{x}_{n}丨}$=$\frac{1}{4}$，即可求得点P_n的坐标．

解答 解：由y=nx²，求导，y′=2nx，
∴y′${丨}_{x={x}_{n}}$=2nx_n，
∴切线l_n的方程为y-n•${x}_{n}^{2}$=2nx_n（x-x_n），即2nx_n•x-n•${x}_{n}^{2}$=0，
令x=0，得y=-n${x}_{n}^{2}$，
∴点Q_n坐标为（0，-n•${x}_{n}^{2}$）；
原点O（0，0）到切线l_n的距离d=$\frac{丨-n{x}_{n}^{2}丨}{\sqrt{（2n{x}_{n}）^{2}+1}}$=$\frac{n{x}_{n}^{2}}{\sqrt{4{n}^{2}{x}_{n}^{2}+1}}$，
丨P_nQ_n丨=$\sqrt{{x}_{n}^{2}+（2n{x}_{n}^{2}）^{2}}$，
∴$\frac{d}{丨{P}_{n}{Q}_{n}丨}$=$\frac{n丨{x}_{n}丨}{1+4{n}^{2}{x}_{n}^{2}}$≤$\frac{n丨{x}_{n}丨}{2•1•丨2n{x}_{n}丨}$=$\frac{1}{4}$，
当且仅当1=4n²${x}_{n}^{2}$，即${x}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$（x_n＞0）时，等号成立，
此时x_n=$\frac{1}{2n}$，
∴点P_n的坐标为$（\frac{1}{2n}，\frac{1}{4n}）$．
故答案为：$（\frac{1}{2n}，\frac{1}{4n}）$．

点评 本题考查导数的运算，考查利用导数求点的切线方程，点到直线的距离公式，两点之间的距离公式及基本不等式的综合应用，考查转化思想，属于中档题．