Question

【题目】如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．
（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取DB中点G，连结EG、FG．

∵F是AD的中点，∴FG∥AB．

∵BD=2CE，∴BG=CE．

∵∠DBC=∠BCE

∴E、G到直线BC的距离相等，则BG∥CB，

∵EG∩FG=G

∴面EGF∥平面ABC，则EF∥平面ABC．

（2）解：以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，设EC=1，则DB=2，取BC中点C，则EG∥BC，∴BC=3，

∵AD=DE，则A（0，0， ），E（0， ，0），B（2，0，0），C（ ， ，0）．

， ．

设平面ACE的法向量 ，

= x+ y=0

令y=1，则 ，|cos |= ．

∴BE与平面ACE所成角的正弦值为：

【解析】（1）取DB中点G，连结EG、FG．证面EGF∥平面ABC，即可得EF∥平面ABC．（2）以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，则A（0，0， ），E（0， ，0），B（2，0，0），C（ ， ，0）．求出平面ACE的法向量即可
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．