Question

【题目】已知函数g（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x，a∈R．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）=g（x）+（a+1）x2﹣2x，x1 ， x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）是函数f（x）的导函数，证明：f′（ ）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x的定义域为（0，+∞），

f′（x）= ﹣2ax+（2﹣a）=﹣ ，

①当a≤0时，f′（x）＞0，x∈（0，+∞），

则f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当a＞0时，x∈（0， ）时，f′（x）＞0，

x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0，

则f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减；

（2）解：由x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，

得f（x1）=lnx1+ ﹣ax1=0，f（x2）=lnx2+ ﹣ax2=0，

两式相减得a= +x1+x2，

∵f′（x）= +2x﹣a，

∴f′（ ）= ﹣ ，

故要证明f′（ ）＜0，

只需证明 ﹣ ＜0，（0＜x1＜x2），

即证明 ＞lnx1﹣lnx2，即证明 ＞ln （*），

令 =t∈（0，1），则h（t）=（1+t）lnt﹣2t+2，

则h′（t）=lnt+ ﹣1，h″（x）= ﹣ ＜0，

故h′（t）在（0，1）递减，h′（t）＞h′（1）=0，

故h（t）在（0，1）递增，h（t）＜h（1）=0，

故（*）成立，即f′（ ）＜0．

【解析】（1）先求函数的定义域，求函数的导数，在定义域内讨论函数的单调性；（2）求出a= +x1+x2 ， 问题转化为证明 ＞lnx1﹣lnx2 ， 即证明 ＞ln （*），令 =t∈（0，1），则h（t）=（1+t）lnt﹣2t+2，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．