Question

【题目】设集合A={（x，y）|y=x2+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是单元素集合，若存在a＜0，b＜0使点P∈{（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}，则点P所在的区域的面积为 ．

Answer 1

【答案】2π
【解析】解：集合A={（x，y）|y=x2+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是一个单元素集合， ∴直线和抛物线相切，
∴由x2+2bx+1=2a（x+b），即x2+2（b﹣a）x+1﹣2ab=0，有相等的实根，所以△=0即a2+b2=1，
∵存在a＜0，b＜0，P={（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}，
∴圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分（第三象限）
∴如图所示，集合P中圆的边界的移动是半径为1的圆的边界的移动就是沿着那个半径为2的那个 圆弧上，
∴集合P的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的 ，
∴集合C的面积=π+π=2π，
所以答案是：2π．

【考点精析】认真审题，首先需要了解定积分的概念(定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限)．