Question

【题目】数列{an}的前n项a1 ， a2 ， …，an（n∈N*）组成集合An={a1 ， a2 ， …，an}，从集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{2n﹣1}，当n=1时，A1={1}，T1=1；n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=13；
（1）若集合An={1，3，5，…，2n﹣1}，求当n=3时，T1 ， T2 ， T3的值；
（2）若集合An={1，3，7，…，2n﹣1}，证明：n=k时集合Ak的Tm与n=k+1时集合Ak+1的Tm（为了以示区别，用Tm′表示）有关系式Tm′=（2k+1﹣1）Tm﹣1+Tm ， 其中m，k∈N*，2≤m≤k；
（3）对于（2）中集合An ． 定义Sn=T1+T2+…+Tn ， 求Sn（用n表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=3时，A3={1，3，7}，

T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21

（2）证明：当n=k+1时，集合Ak+1有k+1个元素，比n=k时的集合Ak多了一个元素：ak+1=2k+1﹣1．∴对应的 包含两个部分：（i）若 中不含ak+1，则 中的任何一项恰好为n=k时集合Ak的对应的Tm中的一项．

（ii）若 中含ak+1的任何一项，除了ak+1，其余的m﹣1个数均来自集合Ak，这m﹣1个数的乘积恰好为集合Ak所对应的Tm﹣1中的一项．

∴有关系式Tm′=（2k+1﹣1）Tm﹣1+Tm，其中m，k∈N*，2≤m≤k

（3）解：由S1=1=21﹣1=1，S2=7=23﹣1，S3=63=26﹣1，

猜想 Sn= ﹣1．下面证明：

（i）易知n=1时成立．

（ii）假设n=k时，Sn=Sk= ﹣1，

则n=k+1时，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1

=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[Tk′+（2k+1﹣1）]

（其中Ti′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为Tk），

=（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）

=Sk+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）Sk = +（2k+1﹣1）

= ﹣1，

即n=k+1时，Sk+1═ ﹣1也成立，

综合（i）（ii）知对n∈N*，Sn= ﹣1成立．

∴Sn= ﹣1

【解析】（1）当n=3时，A3={1，3，7}，由定义可得：T1 ， T2 ， T3的值．（2）当n=k+1时，集合Ak+1有k+1个元素，比n=k时的集合Ak多了一个元素：ak+1=2k+1﹣1．对应的 包含两个部分：（i）若 中不含ak+1 ， 则 中的任何一项恰好为n=k时集合Ak的对应的Tm中的一项．（ii）若 中含ak+1的任何一项，除了ak+1 ， 其余的m﹣1个数均来自集合Ak ， 这m﹣1个数的乘积恰好为集合Ak所对应的Tm﹣1中的一项．即可证明．（3）由S1=1=21﹣1=1，S2=7=23﹣1，S3=63=26﹣1，猜想 Sn= ﹣1．下面利用数学归纳法证明即可．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．