Question

【题目】已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+ ≥2n+a．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|
∵对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立，
∴a=3；
（Ⅱ）证明：2m+ ﹣2n=（m﹣n）+（m﹣n）+ ，
∵m＞n＞0，
∴（m﹣n）+（m﹣n）+ ≥3 =3，
∴2m+ ﹣2n≥3，
即2m+ ≥2n+a
【解析】（Ⅰ）利用绝对值不等式求最值，即可求a的值；
（Ⅱ）作差，利用基本不等式证明结论．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题．