Question

【题目】已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足 ，若n∈N*时，anbn+1﹣bn+1=nbn ．
（Ⅰ）求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn ， 求{cn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵数列{bn}满足 ，anbn+1﹣bn+1=nbn ． ∴n=1时，可得a1b2﹣b2=b1 ， 即 ﹣ =1，解得a1=3．
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．
∴[（2n+1）﹣1]bn+1=nbn ， 可得bn+1= bn ，
∴数列{bn}是等比数列，公比为 ．
∴bn= ．
（II）cn=anbn=（2n+1）× ．
∴{cn}的前n项和Sn= +7× +…+（2n+1）× ．
∴ = +…+（2n﹣1）× +（2n+1）× ，
∴ =3+ ﹣（2n+1）× =1+ ﹣（2n+1）× ，
∴Tn=10﹣
【解析】（I）由数列{bn}满足 ，anbn+1﹣bn+1=nbn ． n=1时，可得a1b2﹣b2=b1 ， 即 ﹣ =1，解得a1 ． 可得an=2n+1．代入anbn+1﹣bn+1=nbn ． 利用等比数列的通项公式即可得出．（II）cn=anbn=（2n+1）× ．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．