Question

【题目】设数列{an}各项为正数，且a2=4a1 ， an+1= +2an（n∈N*）
（I）证明：数列{log3（1+an）}为等比数列；
（Ⅱ）令bn=log3（1+a2n﹣1），数列{bn}的前n项和为Tn ， 求使Tn＞345成立时n的最小值．

Answer 1

【答案】（I）证明：∵a2=4a1 ， an+1= +2an（n∈N*），∴a2=4a1 ， a2= ，解得a1=2，a2=8．
∴an+1+1= +2an+1= ，
两边取对数可得：log3（1+an+1）=2log3（1+an），
∴数列{log3（1+an）}为等比数列，首项为1，公比为2．
（II）解：由（I）可得：log3（1+an）=2n﹣1 ，
∴bn=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1 ，
∴数列{bn}的前n项和为Tn= = ．
不等式Tn＞345，
化为 ＞345，即4n＞1036．
解得n＞5．
∴使Tn＞345成立时n的最小值为6
【解析】（I）由a2=4a1 ， an+1= +2an（n∈N*），可得a2=4a1 ， a2= ，解得a1 ， a2 ． 由于an+1+1= +2an+1= ，两边取对数可得：log3（1+an+1）=2log3（1+an），即可证明．（II）由（I）可得：log3（1+an）=2n﹣1 ， 可得bn=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1 ， 可得数列{bn}的前n项和为Tn ， 代入化简即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．