Question

【题目】设函数f（x）=|3x﹣1|+x+2，
（1）解不等式f（x）≤3，
（2）若不等式f（x）＞a的解集为R，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式即|3x﹣1|+x+2≤3，

∴|3x﹣1|≤1﹣x，∴x﹣1≤3x﹣1≤1﹣x，

即

（2）解：f（x）= ，

当 时，f（x）单调递增； 时，f（x）单调递减，

∴ ．

要使不等式f（x）＞a的解集为{R}，只需f（x）min＞a即可，即 ．

∴综上，a的取值范围是（﹣∞， ）

【解析】（1）因为不等式|f（x）|≤a 等价于：﹣a≤f（x）≤a，不必考虑a 的符号（a＜0时，解集是空集），据此进而分析不等式|3x﹣1|≤1﹣x可得答案；（2）化简f（x）的解析式，利用函数的单调性求出f（x）的最小值，要使不等式f（x）＞a的解集为R，只要f（x）的最小值大于a．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．