Question

【题目】已知x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．
（1）求满足条件的实数t集合T；
（2）若m＞1，n＞1，且对于t∈T，不等式log3mlog3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，

∴T=（﹣∞，1]；

（2）解：由（1）知，对于t∈T，

不等式 ≥t恒成立，

只需 ≥tmax，

所以 ≥1，

又因为m＞1，n＞1，

所以 ＞0， ＞0，

又1≤ ≤ = （ = 时取“=”），

所以 ≥4，

所以 ≥2，mn≥9，

所以m+n≥2 ≥6，

即m+n的最小值为6（此时m=n=3）

【解析】（1）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（2）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．