【题目】已知函数 与
(其中
)在
上的单调性正好相反,回答下列问题:
(1)对于 ,
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)令 ,两正实数
、
满足
,求证:
.
【答案】
(1)因为 ,所以
,
①当 时,
,
在
上为减函数;
②当a>-1时, ,
令 ,得
,此时
在
上为增函数;
令 ,得
,此时
在
上为减函数;
又因为 ,则
,
①当 时,
,
在
上为增函数;
②当a>0时, ,
令 ,得
,此时
在
上为增函数;
令 ,得
,此时
在
上为增函数;
于是若要 与
在
上的单调性正好相反,
则必须 ,解得
,
∴ ,
所以,函数 在
上单调递减,
上单调递增.
∴在区间 上:
对于函数 有
又 ,
∴ .
对于函数 有
又 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
综上,所求t的范围为
(2)易得 ,
由 ,得
,
∴
∴
∴
令,设 ,则
,
可知 在
上单调递增,在
上单调递减,
∴ ,
∴
【解析】本题主要考查不等式恒成立问题的求解,导数在研究函数中的应用,意在考查逻辑思维能力和分析问题、解决问题的综合能力.
【考点精析】认真审题,首先需要了解基本不等式(基本不等式:,(当且仅当
时取到等号);变形公式:
).
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【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AD=AB=DC= BC=1,E是PC的中点,面PAC⊥面ABCD.
(Ⅰ)证明:ED∥面PAB;
(Ⅱ)若PC=2,PA= ,求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣ax+2lnx(其中a是实数).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若设2(e+ )<a<
,且f(x)有两个极值点x1 , x2(x1<x2),求f(x1)﹣f(x2)取值范围.(其中e为自然对数的底数).
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【题目】已知 分别是椭圆
的左、右焦点,离心率为
,
,
分别是椭圆的上、下顶点,
.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)过 (0,2)作直线
与
交于
两点,求三角形
面积的最大值(
是坐标原点).
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【题目】经市场调查,某商品每吨的价格为x(1<x<14)万元时,该商品的月供给量为y1吨,y1=ax+ a2﹣a(a>0):月需求量为y2吨,y2=﹣
x2﹣
x+1,当该商品的需求量大于供给量时,销售量等于供给量:当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求量,该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.
(1)已知a= ,若某月该商品的价格为x=7,求商品在该月的销售额(精确到1元);
(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格,若该商品的均衡价格不低于每吨6万元,求实数a的取值范围.
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【题目】设f'(x)是函数f(x)的导数,f'(x)是函数f'(x)的导数,若方程f'(x)=0有实数解x0 , 则称点(x0 , f(x0))为函数f(x)的拐点.某同学经过探究发现:任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有拐点,任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心,
设函数g(x)=x3﹣3x2+4x+2,利用上述探究结果
计算: =
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【题目】在如图所示的组合体中,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面,C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点.
(Ⅰ)若圆柱的轴截面是正方形,当点C是弧AB的中点时,求异面直线A1C与AB1的所成角的大小;
(Ⅱ)当点C是弧AB的中点时,求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比.
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