Question

【题目】椭圆C： 过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点．设点P（4，3），记PA，PB的斜率分别为k1和k2 ．

（1）求椭圆C的方程；
（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1k2的值；
（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a=2，又c=1，∴ ，∴椭圆方程为

（2）

解：直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），

由 消y得7x2﹣8x﹣8=0，有 ，

（3）

解：当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1， ），B（1，﹣ ），

则 ， ，故k1+k2=2．

当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B（x2，y2），

由 消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有 ，

=

【解析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立 利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．