【题目】定义f(x)={x}(其中{x}表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”,例如{2.1}=3,{4}=4.以下关于“取上整函数”性质的描述,正确的是( ) ①f(2x)=2f(x);
②若f(x1)=f(x2),则x1﹣x2<1;
③任意x1 , x2∈R,f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2);
④ .
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
【答案】C
【解析】解:对于①,当x=1.4时,f(2x)=f(2.8)=3.2,f(1.4)=4.所以f(2x)≠2f(x);①错. 对于②,若f(x1)=f(x2).当x1为整数时,f(x1)=x1 , 此时x2>x1﹣1,即x1﹣x2<1.当x1不是整数时,f(x1)=[x1]+1.[x1]表示不大于x1的最大整数.x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数,此时﹣x1﹣x2<1.故②正确.
对于③,当x1 , x2∈Z,f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x1 , x2Z,f(x1+x2)<f(x1)+f(x2),故正确;
对于④,举例f(1.2)+f(1.2+0.5)=4≠f(2.4)=3.故④错误.
故选:C.
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【题目】设集合A={(x,y)|y=x2+2bx+1},B={(x,y)|y=2a(x+b)},且A∩B是单元素集合,若存在a<0,b<0使点P∈{(x,y)|(x﹣a)2+(y﹣b)2≤1},则点P所在的区域的面积为 .
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【题目】已知数列{an}满足a1=1,a2=3,若|an+1﹣an|=2n(n∈N*),且{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列,则 = .
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【题目】设双曲线C: ,F1 , F2为其左右两个焦点.
(1)设O为坐标原点,M为双曲线C右支上任意一点,求 的取值范围;
(2)若动点P与双曲线C的两个焦点F1 , F2的距离之和为定值,且cos∠F1PF2的最小值为 ,求动点P的轨迹方程.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PB、PD与
平面ABCD所成的角依次是 和 ,AP=2,E、F依次是PB、PC的中点;
(1)求异面直线EC与PD所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)
(2)求三棱锥P﹣AFD的体积.
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【题目】椭圆C: 过点M(2,0),且右焦点为F(1,0),过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点.设点P(4,3),记PA,PB的斜率分别为k1和k2 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果直线l的斜率等于﹣1,求出k1k2的值;
(3)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出k1+k2的取值范围.
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【题目】已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣ =1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2 , 求 的值.
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【题目】已知函数f(x)是奇函数,当x<0,f(x)=﹣x2+x,若不等式f(x)﹣x≤2logax(a>0且a≠1)对x∈(0, ]恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(0, ]
B.[ ,1)
C.(0, ]
D.[ , ]∪(1,+∞)
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