Question

【题目】已知f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．
（1）当a=3时，求函数f（x）的极小值；
（2）令g（x）=x2﹣f（x），是否存在实数a，当x∈[1，e]（e是自然对数的底数）时，函数g（x）取得最小值为1．若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题可知，f（x）=x2﹣3x+lnx，所以

令f'（x）=0，得 或x=1

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，或x＞1，

令f′（x）＜0，解得： ＜x＜1，

所以f（x）在 ，（1，+∞）单调递增，在 上单调递减

所以f（x）的极小值是f（1）=﹣2

（2）解：由题知，g（x）=ax﹣lnx，所以

①当a≤0时，g（x）在[1，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=1，

解得： （舍去）

②当 时，g（x）在[1，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=1，

解得： （舍去）

③当 时，g（x）在 上单调递减，在 上单调递增， ，

解得：a=1（舍去）

④当a≥1时，g（x）在[1，e]上单调递增，g（x）min=g（1）=a=1，

解得：a=1

综合所述：当a=1时，g（x）在[1，e]上有最小值1

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而确定a的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．