Question

已知函数f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R）．
（1）当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设关于x的方程f（x）=

1

x

的两个实根为x₁，x₂，且-1≤a≤1，求|x₁-x₂|的最大值；
（3）在（2）的条件下，若对于[-1，1]上的任意实数t，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由f（1）=1解得a，用导数法研究单调性；（2）方程f（x）=

1

x

可化为x²-ax-2=0，△=a²+8＞0，可知方程x²-ax-2=0有两不同的实根x₁，x₂，再由韦达定理建立|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

a2+8

模型求解；（3）若不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，
结合（2）可转化为m²+tm-2≥0，t∈[-1，1]都成立，再求g（t）=m²+tm-2最小值即可．

解答：解：（1）由f（1）=1得a=-1，
f′（x）=

2(x2+2)-2x(x+1)

(x2+2)2

=

-2(x2+x-2)

(x2+2)2

=

-2(x+2)(x-1)

(x2+2)2

≥0
-2≤x≤1，所以f（x）的减区间是（-∞，-2]和[1，+∞），增区间是[-2，1]（5分）
（2）方程f（x）=

1

x

可化为x²-ax-2=0，△=a²+8＞0
∴x²-ax-2=0有两不同的实根x₁，x₂，
则x₁+x₂=a，x₁x₂=-2
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

a2+8

∵-1≤a≤1，∴当a=±1时，
∴|x₁-x₂|_max=

a1+8

=3
（3）若不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，
由（2）可得m²+tm+1≥3，对t∈[-1，1]都成立m²+tm-2≥0，t∈[-1，1]，
设g（t）=m²+tm-2
若使t∈[-1，1]时g（t）≥0都成立，
则

g(-1)=-m+m2-2≥0 g(1)=m+m2-2≥0

解得：m≥2或m≤-2，所以m的取值范围是m≥2或m≤-2

点评：本题主要考查导数法研究单调性，一元二次方程根的问题及不等式恒成立问题，同时考查转化化归的思想．