Question

4．已知|$\overrightarrow a|=4，|\overrightarrow b|=3，（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$．
（1）求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ；
（2）若$\vec c=t\vec a+（1-t）\vec b$，且$\vec b•\vec c=0$，求$|{\vec c}$|．

Answer 1

分析 （1）将（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61展开求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入夹角公式；
（2）根据条件求出t，得到$\overrightarrow{c}$，两边平方可得|$\overrightarrow{c}$|．

解答 解：（1）∵（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61，∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-3${\overrightarrow{b}}^{2}$=61，解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-6．
∴cos θ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-6}{4×3}$=-$\frac{1}{2}$，又0≤θ≤π，∴θ=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵$\vec b•\vec c=\vec b•（t\vec a+（1-t）\vec b）=t\vec a•\vec b+（1-t）{\vec b^2}=-15t+9=0$，∴$t=\frac{3}{5}$．
${|{\vec c}|^2}={（\frac{3}{5}\vec a+\frac{2}{5}\vec b）^2}=\frac{108}{25}$，
∴$|{\vec c}|=\frac{{6\sqrt{3}}}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，模长计算，是基础题．