Question

对任意x∈R，函数f（x）的导数存在，若f′（x）＞f（x），则以下正确的是（　　）

A．f（2011）＞e²⁰¹¹?f（0）

B．f（2011）＜e²⁰¹¹?f（0）

C．f（2011）＞f（0）

D．f（2011）＜f（0）

Answer 1

分析：由f′（x）＞f（x）可得f'（x）-f（x）＞0，而由e^-x[f′（x）-f（x）]＞0可判断函数e^-xf（x）是单调递增函数，结合对x取特殊值可求．

解答：解：∵f′（x）＞f（x）
∴f′（x）-f（x）＞0
∵e^-x＞0
∴e^-x[f′（x）-f（x）]＞0
∴e^-xf′（x）-e^-xf（x）＞0
而[e^-xf（x）]′=（e^-x）′f（x）+e^-xf′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）＞0
∴e^-xf（x）是单调递增函数
取x=2011，
于是e^-2011f（2011）＞e^-0f（0）=f（0）
∴f（2011）＞e²⁰¹¹f（0）．
故选A

点评：本题主要考查了导数的基本运算及利用导数判断函数的单调性，这里的关键，是观察和利用e^-xf（x）的导函数的形式．属于基础题．