Question

【题目】已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设椭圆的上下顶点为，，左焦点为，则是正三角形，可得，进而将代入椭圆方程，可求出的值，即可得到椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，并消去得到关于的一元二次方程，设，，由以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，可得，将其展开并结合韦达定理，可求得，即直线恒过点，进而，结合韦达定理，求出最大值即可.

（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为，，左焦点为，

则是正三角形，所以，则椭圆方程为.

将代入椭圆方程，可得，解得，.

故椭圆的方程为.

（2）由题意，设直线的方程为，

联立，消去得.

设，，则有，，

因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，所以，

由，，则，

将，代入上式并整理得，

则，化简得，

解得或，

因为直线不过点，所以，故.

所以直线恒过点.

故，

设，则在上单调递增，

当时，，

所以面积的最大值为.