Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）把曲线向下平移个单位，然后各点横坐标变为原来的倍得到曲线（纵坐标不变），设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以得，进而可化简得出曲线的直角坐标方程；

（2）根据变换得出的普通方程为，可设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.

（1）由（为参数），得，化简得，

故直线的普通方程为.

由，得，又，，.

所以的直角坐标方程为；

（2）由（1）得曲线的直角坐标方程为，向下平移个单位得到，

纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到曲线的方程为，

所以曲线的参数方程为（为参数）.

故点到直线的距离为，

当时，最小为.