【题目】某市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，数据如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼的时间(分钟) |
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总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均课外体育运动时间在
上的学生评价为“课外体育达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面
列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
（2）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量为
，求的分布列和数学期望.
（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中，抽取4名学生，求其中恰好有2名学生是课外体育达标的概率.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】（1）列联表见解析，不能判断；（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
（1）根据题意，结合已知数据，即可容易补充列联表；再计算
，结合参考数据即可判断；
（2）利用分层抽样等比例抽取的性质，求得抽取的
人中男生和女生的人数，再求分布列和数学期望即可；
（3）由课外体育达标的人数服从二项分布，结合已知数据，和二项分布的概率计算公式即可求得.
解：（1）
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | 60 | 30 | 90 |
女 | 90 | 20 | 110 |
合计 | 150 | 50 | 200 |
＝
≈6.060<6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.
（2）易知，所抽取的10名学生中，男生为
名，女生为6名.
可取0，1，2，3.且
，
，
，
0 | 1 | 2 | 3 | |
|
|
|
|
.
（3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为
，表
中学生课外体育达标的概率为
，
，
.
4名学生中，恰好有2名学生是课外体育达标的概率为.
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【题目】某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如下频率分布直方图：
由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
(同一组数据用该组区间的中点值作代表).
（1） 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；
（2） 现依次抽取
个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件
表示“连续3人的旅游消费支出超出”.若
表示
的概率，
为常数)，且
.
（ⅰ）求
，
及
，
；
（ⅱ）判断并证明数列
从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义.
参考数据：
，
，
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【题目】平面直角坐标系
中，过椭圆
：
右焦点的直线
交于
，
两点，且椭圆的离心率为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）
，
为上的两点，若四边形
的对角线
，求四边形面积的最大值.
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【题目】某工厂生产一种产品的标准长度为
，只要误差的绝对值不超过
就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：
（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；
（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.
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【题目】某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了
名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在
），按下列分组
，
，
，
，
，
，
，
，
作出频率分布直方图，如图
；样本中分数在
内的所有数据的茎叶图如图
：
根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表．
（1）求的值及频率分布直方图中的
值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取人，求此人都不能录取为专科的概率；
（3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取
名学生进行调研，用
表示所抽取的名学生中为自招的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
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【题目】某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据
，如表所示：
试销单价x（元） | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
产品销量y（件） | q | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知
.参考公式：
，
（1）求出q的值；
（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程
；
（3）用
表示用正确的线性回归方程得到的与
对应的产品销量的估计值.当销售数据
的残差的绝对值
时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率.
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【题目】已知椭圆
的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
，
两点，且以线段
为直径的圆过椭圆的右顶点
，求
面积的最大值.
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【题目】为了解某冷饮店的经营状况，随机记录了该店
月的月营业额
（单位：万元）与月份
的数据，如下表：
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（1）求关于的回归直线方程
；
（2）若在这样本点中任取两点，求恰有一点在回归直线上的概率.
附：回归直线方程中，
，
.
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【题目】甲乙两人进行乒乓球比赛，两人打到
平，之后的比赛要每球交替发球权且要一人净胜两球才能取胜，已知甲发球甲获胜的概率为
，乙发球甲获胜的概率为
，则下列命题正确的个数为（ ）
（1）若
，两人能在两球后结束比赛的概率与有关
（2）若
，两人能在两球后结束比赛的概率与有关
（3）第二球分出胜负的概率与在第二球没有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率相同
（4）第二球分出胜负的概率与在第
球没有分出胜负的情况下进而第
球分出胜负的概率相同
A.
B.
C.
D.
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