Question

在四棱锥P-ABCD中，直角梯形ABCD所在平面垂直于平面ABP，M是PC的中点，AB=AP=AD=2，BC=4，AB⊥AP．
（Ⅰ）求出该几何体的体积．
（Ⅱ）若N是PB的中点，求证：AN∥平面BDM．

Answer 1

分析：（I）由已知中四棱锥P-ABCD中，平面ABP⊥平面ABCD，AB⊥AP，我们易确定PA即为四棱锥的高，根据已知中AB=AP=AD=2，BC=4，结合棱锥体积公式即可求解．
（II）∵M是PC的中点，若若N是PB的中点，则我们连接MN后，易根据平行四边形的性质判断出AN∥DM，结合线面平行的判断定理，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知：四棱锥P-ABCD中，
平面ABP⊥平面ABCD，AB⊥AP．
所以，PA⊥平面ABCD（3分）
又AB=AP=AD=2，BC=4，
则四棱锥P-ABCD的体积为V=

1

3

SABCD•|PA|=

1

3

×

(4+2)×2

2

×2=4（6分）
（Ⅱ）连接MN，则MN∥CB，AD∥CB，又MN=AD=

1

2

CB，
所以四边形ANMD为平行四边形，
∴AN∥DM．（9分）
∵AN?平面BDM，DM?平面BDM，
所以AN∥平面BDM（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积公式，证明线面平行的关键，即证明面内一线与面外一线平行．