Question

9．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小值为-4，其图象最高点与最低点横坐标之差是8，又知图象经过点（4，2$\sqrt{2}$）．
（1）求函数解析式；
（2）求此函数的最大值和最小正周期．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，根据特试点的坐标求出φ，可得函数的解析式．
（2）根据正弦函数的图象特征求出函数的最大值，利用三角函数周期公式可求最小正周期．

解答 解：（1）由题意知：A=4，半周期$\frac{T}{2}$=8=$\frac{π}{ω}$，求得ω=$\frac{π}{8}$，故y=4sin（$\frac{π}{8}$x+φ）． 
再把（4，2$\sqrt{2}$）代入，可得4sin（$\frac{π}{8}$×4+φ）=2$\sqrt{2}$，
∴cosφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由，0＜φ＜π，可得：φ=$\frac{π}{4}$，
故所求函数解析式为y=4sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）． 
（2）令$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x=16k+2，故当x=16k+2 时，函数取得最大值为4．
此函数的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{8}}$=16．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．