Question

20．已知sinθ、cosθ是关于x的方程x²-ax+a=0的两根．
（1）求实数a的值；
（2）求sin³θ+cos³θ的值；
（3）求tanθ+cotθ的值．

Answer 1

分析 （1）依题意，由△≥0，可求得a的取值范围，利用韦达定理与三角函数间的关系可求得a=sinθ+cosθ=sinθcosθ，即可求实数a的值；
（2）利用sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（1-sinθcosθ），从而可求sin³θ+cos³θ的值；
（3）利用诱导公式，将所求关系式中的“切”化“弦”，通分整理代入可得答案．

解答 解：（1）依题意，△=a²-4a≥0，解得a≤0或a≥4，
又$\left\{\begin{array}{l}{sinθ+cosθ=a}\\{sinθ•cosθ=a}\end{array}\right.$
所以（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，即a²-2a-1=0，解得a=1-$\sqrt{2}$或a=1+$\sqrt{2}$（舍去），
（2）sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（1-sinθcosθ）=（1-$\sqrt{2}$）×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$-2
（3）tanθ+cotθ=$\frac{1}{sinθcosθ}$=$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$=-1-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查韦达定理的应用，求得sinθ+cosθ=sinθcosθ的值是关键，属于中档题．