【题目】某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为,后2天均为
,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.
(1)求未来5天至少一天停止课间操的概率;
(2)求未来5天组织课间操的天数X的分布列和数学期望.
【答案】(1).(2)见解析,数学期望为2.
【解析】
(1)可以求出五天都可以出操的概率,然后用对立事件概率公式计算;
(2)天数X的可能取值为0,1,2,3,4,5,分别计算概率得分布列,由分布列可计算期望.
(1)课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.
预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:
前3天均为,后2天均为
,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.
∴未来5天每天都组织课间操的概率为:
P1,
∴未来5天至少一天停止课间操的概率:
P=1﹣P1=1.
(2)未来5天组织课间操的天数X的可能取值为0,1,2,3,4,5,
P(X=0),
P(X=1),
P(X=2),
P(X=3),
P(X=4),
P(X=5),
∴X的分布列为:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P |
数学期望E(X)2.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,离心率为
,点
在椭圆
上,且
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过点的直线与椭圆
交于
两点,点
在直线
上,求
的最小值.
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【题目】有次水下考古活动中,潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业,其用氧量包含以下三个方面:①下潜时,平均速度为每分钟米,每分钟的用氧量为
升;②水底作业需要10分钟,每分钟的用氧量为0.3升;③返回水面时,速度为每分钟
米,每分钟用氧量为0.2升;设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为
升;
(1)将表示为
的函数;
(2)若,求总用氧量
的取值范围.
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【题目】对于数列,称
(其中
)为数列
的前k项“波动均值”.若对任意的
,都有
,则称数列
为“趋稳数列”.
(1)若数列1,,2为“趋稳数列”,求
的取值范围;
(2)若各项均为正数的等比数列的公比
,求证:
是“趋稳数列”;
(3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前
项的和为
. 且对任意
,都有
, 试计算:
(
).
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【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,底面
是直角梯形,其中
,
,
,
,
为棱
上的点,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设为棱
上的点(不与
,
重合),且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
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【题目】设数列满足
,其中A,B是两个确定的实数,
(1)若,求
的前n项和;
(2)证明:不是等比数列;
(3)若,数列
中除去开始的两项外,是否还有相等的两项,并证明你的结论.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,,四边形ACEF为正方形,且平面
平面ACEF.
(1)证明:;
(2)求平面BEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值.
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【题目】已知椭圆:
的左顶点为
,右焦点为
,斜率为1的直线与椭圆
交于
,
两点,且
,其中
为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过点且与直线
平行的直线与椭圆
交于
,
两点,若点
满足
,且
与椭圆
的另一个交点为
,求
的值.
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