Question

已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx-

3

2

，x∈R，且f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）函数f（x）的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为偶函数？（列举出一种方
法即可）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

列式求出a，b的值，代入函数解析式后化简为y=Asin（ωx+φ）的形式得答案；
（Ⅱ）把f(x)=sin(2x+

π

3

)的相位加

π

6

或减

5π

6

即可化为偶函数，然后看变量x的变化．

解答：解：（Ⅰ）由f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

，得

2a- 3 2 = 3 2 a+ 1 2 b- 3 2 = 1 2

，∴

a= 3 2 b=1

，
∴f(x)=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)
故T=π；
（Ⅱ）由于f(x)=sin(2x+

π

3

+

π

6

)=cos2x或f(x)=sin(2x+

π

3

-

5π

6

)=-cos2x，
于是将f(x)=sin(2x+

π

3

)向左平移

π

12

个单位或向右平移

5π

12

个单位，
所得图象对应的函数均为偶函数．

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换的应用，考查了三角函数的图象的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是中档题．