Question

8．已知命题p：y=（a²-a-1）^x是增函数；命题q：?x∈[3，4]不等式x²-ax+a-3＞0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q为真命题时的取值范围，然后利用若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

解答 解：∵y=（a²-a-1）^x是增函数，∴a²-a-1＞1，即a²-a-2＞0，得a＞2或a＜-1，即p：a＞2或a＜-1，
设f（x）=x²-ax+a-3，
对称轴是：x=$\frac{a}{2}$；
∴当$\frac{a}{2}$≤3，即a≤6时，f（x）_min=f（3）=6-2a＞0，得a＜3，此时a＜3；
当$\frac{a}{2}$≥4，即a≥8时，f（x）_min=f（4）=13-3a＞0，得a＜$\frac{13}{3}$，此时a无解；
当3＜$\frac{a}{2}$＜4，即6＜a＜8时，f（x）_min=f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{1}{4}$a²+a-3＞0，
即a²-4a+12＜0，此时a无解，
综上a＜3，即q：a＜3．
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p，q一真一假．
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞2或a＜-1}\\{a≥3}\end{array}\right.$得a≥3．
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤2}\\{a＜3}\end{array}\right.$得，-1≤a≤2．
综上实数a的取值范围是a≥3或-1≤a≤2．

点评 本题主要考查复合命题的真假应用，将条件进行等价化简是解决本题的关键．